サンプリング周波数は何処まで再現できるのか。
ちょっと考えてみる編。
平成十八年七月二十日
長い間、間違ったままでした。
もし参考にしていた人がいたら、ごめんなさい。
デジタルのサンプリング周波数と、そのアナログへの再現性の限界については、
以前から、ちらほらと言われてきたことだけど、実際に確かめてみよう。
１００Ｈｚの音をサンプリングしてデジタルに変換するには、２００Ｈｚ必要。
これは何の定理だったか、何かで証明されていることだったと思うので、
正確な説明は省略。大学でやったのを忘れてしまいました。
勘で思うに、音の周波数はサイン波の周期で言うところの＋１〜０〜−１の
範囲内で正と負を繰り返すので、音１Ｈｚ毎に正になるか負になるかを認識するため、
デジタル２Ｈｚが必要だと思われます。もしデジタル１Ｈｚでサンプリングできたら、
「音があるか、無いか」だけの認識しか出来ないんでしょうね。多分。
結局、何が問題なのかと言うと、１００や４００Ｈｚの音なら４４１００Ｈｚの
サンプリングで再現できましょうが、２００００Ｈｚの音を４４１００Ｈｚの
サンプリングで再現できるのか、ということです。
ここでオーディオにうるさい人なら「それはＡＤ／Ｃ（Analog Digital Converter）の
性能でどうにでもなる（働きの順でDA/C）」と言うでしょう。その問題になると
うっとおしいので、解析方法にアナログを通さんことにしました。
こんな方法。
パソコンのソフトで４４１００Ｈｚのサンプリング上にサイン波の音を作り、
そのまま拡大。比較のために、４８０００Ｈｚのサンプリングも作る。全部１６ｂｉｔ。
はじまりはじまりー。
まず、１Ｈｚ。
何よりこれが、基準となるサイン波の１Ｈｚです。
サイン波なので０〜１〜０〜-１〜０までで、一つのまとまり１Ｈｚです。
そして、その１Ｈｚを拡大。
サンプリング周波数４４１００Ｈｚに１Ｈｚのサイン波を作りました。
点一つの間が１サンプルです。これは１秒間を４４１００で割った一つで、
この場合は１秒間を４４１００に分割して再現していることになります。
ここは水平ですが、右の方ではちゃんと上がって下がります。
４４０Ｈｚ
サンプリング周波数４４１００Ｈｚ上に４４０Ｈｚのサイン波を作成しました。
一秒間に１Ｈｚのサイン波を４４０個つめこんでいることであり、それを４４１００に均等に分割した点で
再現しているということです。
上のグラフをもう少し縮小するとこうなります。
４４０Ｈｚの場合は矢印の点までが一周期、サンプリング周波数４４１００Ｈｚに４４０Ｈｚなので、
サンプルでいうと４４１００÷４４０＝１００.２２７２....となり、ここでの最小単位は１サンプルなので
小数点以下は切り捨てて、１００個のサンプルで一周期を再現しているということになります。
４４００Ｈｚ
サンプリング周波数４４１００Ｈｚに４４００Ｈｚなので、一周期を再現するのに４４１００÷４４００で
１０.０２２７....となり、１０個のサンプルで再現しています。
しかしよく見れば、右端では０とサンプルの点が交差していませんし、サイン波の頂点と底が傾き、
その程度も均等ではありません。ここで切り捨てていた０.０２２７....の誤差が出てきたのですね。
ならば４４１０Ｈｚでも試してみましょう。
こんどは０とサイン波の交点がサンプルの点と一致しています。
お分かりだと思いますが、４４１００÷４４１０＝１０で一周期を表すのに１０サンプル使用しています。
１００００Ｈｚでは
続いて同じくサンプリング周波数４４１００Ｈｚに１００００Ｈｚでも試してみましょう。
サイン波ぽいですか。全然違いますね。一周期を表すのに４サンプルなので合わなくなっているようです。
最悪４サンプルあれば三角波になるが頂点を漏らさずに再現できるのでは、と考えれそうですが、
このサイン波は「サンプリング周波数４４１００Ｈｚ」という予め準備された方眼紙の上に描かれて
いると同じですから、波形の都合で「サンプルの幅＝サンプリング周波数」は変更できません。
必要なときは、一番最初にサンプリング周波数の値を変更しておかなければなりません。
１５０００Ｈｚでは
続けてサンプリング周波数４４１００Ｈｚに１５０００Ｈｚではどうなるか。
なんとなく相似のようにも見えますが、サンプル点の位置が規則的に変化しているようです。
うねりもしているようです。一周期を表すのに２サンプル。
２００００Ｈｚではどうか
次にサンプリング周波数４４１００Ｈｚに２００００Ｈｚ、もう比較のために羅列です。
今度も相似ぽいのが周期的に現れましたね。これも一周期を表すのに２サンプル。
１Ｈｚは４４１００サンプルを用いて再現していましたね。２２０５０分の１。
これはどういうことか
周波数が高くなるにつれて、どんどん元の形から崩れていく原因はなんとなく分かっていたのですが、
それをどう表せばいいのかしばらく考えて、グラフを作ってみました。
およそのグラフですから、物差しを当てたり方眼紙をあてたりしないでください。
一応上記のサンプリング周波数４４１００Ｈｚに２００００Ｈｚを想定して解説します。
本当ならサイン波を緻密に再現したくとも、２００００Ｈｚのグラフは横軸０〜４４１００の
目盛りに納まっています。本当なら４４１００÷２００００で２.２０５サンプルの幅で
一周期ですが、１サンプルが最小単位ですから、実際に一周期を表すのは２サンプルのようです。
それならばと、サンプルの幅に合致する点だけを捕っていくと、赤点の箇所になります。
赤点を捕ったこの時点で、青い線のサイン波のことは全て忘れてください。今あるのは、赤点のみです。
そしてその赤点を結んでいくと、緑線の新たな波形が出来上がります。
この緑線こそ、サンプリング周波数４４１００Ｈｚ上での２００００Ｈｚ。
じゃあ、４８０００Ｈｚならどうなのか。
サンプリング周波数４８０００Ｈｚ上に２００００Ｈｚのサイン波を作成してみました。
案外、違うものです。しかし、こちらは更に同じ様な波形が続きますね。
比較するために１９２０００Ｈｚでもやってみた。
サンプリング周波数１９２０００Ｈｚに２００００Ｈｚのサイン波です。
一周期を表すのに９サンプル。随分とサイン波に近いですね。ＣＤの音質をきちんと再生するには、
これぐらいの性能が必要なのかもしれません。
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